Розділ VIII Середні величини та показники варіації

 

§ 1. Поняття середньої величини, її види і техніка обчислення

Середні величини належать до узагальнюючих показників. У статис­тиці всі показники розподіляються на індивідуальні та середні. Індивіду­альні показники завжди характеризують окремі одиниці сукупності.

Необхідність в обчисленні середньої величини обумовлюється тим, що явища, які вивчаються й правовою статистикою, завжди мають масовий характер, а ознаки в окремих одиниць сукупності відрізня­ються одна від одної, інакше кажучи, варіюють.

Середня величина в статистиці — це узагальнюючий показник, який характеризує типовий розмір ознаки якісно однорідної сукупнос­ті в конкретних умовах простору і часу.

Головною передумовою для обчислення і застосування середніх величин є те, що вони не можуть обчислюватися для різнорідної сукуп­ності. Це означає, що наукове використання середніх величин базується на його поєднанні з методом групування: спочатку слід поділити сукуп­ність на окремі групи і тільки після цього обчислювати середні величи­ни для якісно однорідних груп сукупності та сукупності в цілому.

У правовій статистиці середні величини використовуються для обчис­лення: зміни у структурі злочинності; середньої кількості осіб, яка при­падає на один злочин; характеристики зміни в середньому віці злочинців за окремими видами злочинів і за всією злочинністю в цілому; характе­ристики додержання процесуальних строків (середні строки досудового слідства, розгляду кримінальних, цивільних та адміністративних справ); середньої величини збитків за окремими видами злочинів та ін.

Існують різні точки зору на визначення поняття середньої величини. Прихильники діалектичного підходу вважають, що в реальності існують різні індивідуальні одиниці, а середня величина — лише абстракція, яка характеризує в загальному вигляді сукупність у цілому. На нашу думку, ця точка зору є більш правильною. Таким чином, середній показник має тільки оціночне значення. У правовій статистиці, де окремі явища часто є унікальними, він ні в якому разі не може підміняти і тим більше за­міняти вивчення індивідуального. Крім того, індивідуальні явища ха­рактеризують розподіл сукупності та дають змогу встановити одиниці, які істотно відрізняються від інших одиниць.

Щоб встановити їх закономірності та особливості в розвитку яви­ща загальна середня величина, обчислена для всієї сукупності, повинна доповнюватися вивченням середніх показників за окремими групами, а також вивченням індивідуальних значень ознаки явища. Тому в пра­вовій статистиці загальна середня величина по країні в цілому допо­внюється середніми показниками по окремих регіонах.

За технікою обчислення всі середні величини можуть бути про­стими (незваженими) та зваженими, за класом всі вони належать до степеневої середньої. Загальна формула степеневої середньої має такий вигляд (перша формула — проста; друга — зважена):

де x — степенева середня величина; x — варіанти (значення озна­ки одиниць сукупності); n — загальна кількість одиниць сукупності; f — вага, частота, яка показує, скільки разів зустрічається те чи інше значення ознаки; m — показник ступеня середньої; Е — знак суми.

За назвами в статистиці використовуються середня арифметична, середня хронологічна, середня геометрична, середня квадратична, се­редня гармонічна величини. Зміна значення показника степеневої се­редньої величини (m) визначає вид середньої величини: якщо m = 1, то ми одержуємо середню арифметичну величину; якщо m = 2, то маємо середню квадратичну; якщо m = 3, то отримуємо середню ку­бічну; якщо m = — 1, маємо середню гармонічну; якщо m = 0, то одержуємо середню геометричну. Із степеневих середніх у правовій статистиці найчастіше використовують середню арифметичну, значно рідше — середню гармонічну; середня геометрична застосовується тільки при обчисленні середніх темпів динаміки, а середня квадратич­на — при обчисленні показників варіації.

Розміри обчисленої середньої величини завжди відрізняються, оскіль­ки обумовлюються показником степеня середньої величини. У загально­му вигляді це правило має назву мажорантності середніх: чим більший показник ступеня, тим більша величина середньої. При цьому слід мати на увазі, що правильну характеристику різних сукупностей у кожному окремому випадку визначає лише певний вид середньої величини.

Залежно від того, як формується загальний обсяг сукупності, і визначається вид середньої величини. Середня арифметична засто­совується тоді, коли обсяг варюючої ознаки утворюється як сума окре­мих варіантів; середня квадратична — коли обсяг варюючої ознаки має вигляд суми квадратів окремих варіантів; середня гармонічна — коли обсяг варюючої ознаки складається із суми обернених значень окремих варіантів; середня геометрична — коли обсяг варюючої ознаки одер­жується як добуток окремих варіантів.

Середні арифметичні величини застосовуються тоді, коли первин­ні (вихідні) дані наведено в такому вигляді, що загальний обсяг ознаки для всієї сукупності можна одержати шляхом їх підсумовування в усіх одиницях.

Середня арифметична проста (незважена) обчислюється шляхом ділення суми індивідуальних значень ознаки на їх загальну кількість. Спочатку підсумовують значення всіх варіантів, а потім ця сума ді­литься на загальну кількість одиниць сукупності. Середня арифметич­на проста використовується дуже рідко, зазвичай, лише тоді, коли су­купність повністю симетрична (нормальний закон розподілу одиниць) або має невелику кількість одиниць.

У правовій статистиці застосовується середня арифметична зваже­на, яка обчислюється за формулою:

де X_a — середня арифметична величина; /₁, /,, ..., /_n — повто­рення (частота, вага) кожного варіанта; x₁, x,, ..., x_n _значення ознаки одиниць сукупності; Е — знак суми.

Середня арифметична зважена завжди обчислюється тоді, коли окремі значення варіантів у сукупності повторюються кілька разів або коли ряд розподілу значення ознаки несиметричний. При обчисленні середньої арифметичної зваженої за наведеною формулою значення кожного варіанта (ознаки кожної одиниці сукупності) слід помножити на відповідну йому вагу (частоту, або повторюваність кожного варіанта) і суму цих добутків поділити на суму частот (загальну кількість одиниць сукупності). При цьому перемноження значень ознак сукупності на кількість їх повторювання в сукупності (тобто варіантів на ваги) нази­вається зважуванням, а одержана середня величина — зваженою.

Використання середньої арифметичної зваженої дає змогу заміни­ти багаторазове підсумовування однакових варіантів, як це має місце при обчисленні середньої арифметичної простої.

Середня величина завжди має числове вираження в тих самих одиницях виміру, що й первинні дані. При цьому її розмір обов’язково знаходиться в межах від мінімального до максимального значення ознаки і вона не може бути меншою за мінімальне і більшою за мак­симальне значення ознаки.

Округлювати одержані дані можна лише таким чином, щоб не втратити реального змісту показника.

Частіше доводиться обчислювати середні арифметичні зважені з да­них, наведених у статистичній звітності у вигляді інтервальних варіа­ційних рядів розподілу, коли значення варіантів подано не числом, а в межах інтервалу: від... до... Наприклад, у табл. 4 наведено дані про вік засуджених (інтервали подано так, як вони побудовані в статистичній картці на особу, стосовно якої судом розглянуто кримінальну справу).

 

Щоб обчислити середній вік усіх 200 осіб, засуджених за злочини проти власності, спочатку необхідно визначити середній вік кожної групи, тому що вік у документах первинного обліку наводиться у ви­гляді інтервалів. Середній вік для кожної групи умовно приймають як середину кожного інтервалу. Вона обчислюється як середня арифметич­на проста умовно, оскільки не завжди однаково зустрічаються особи різного віку в межах групи. Середина першої вікової групи буде дорів­нювати 14,5 року ((14 + 15) : 2). Аналогічно обчислюється середина всіх інших інтервалів, крім останнього, бо в ньому відсутня верхня межа інтервалу. Останній інтервал повністю відкритий. Теоретично особа після 14 років, якщо вона вчинила злочин, може буде засуджена. У та­кому разі ця межа встановлюється умовно таким чином, щоб інтервал дорівнював сусідньому з ним. У нашому прикладі величина передос­таннього інтервалу дорівнювала 15 рокам (65-50). Відповідно прийма­ємо верхню межу останнього інтервалу рівною 80 рокам (65 + 15), тоді середина становить 72,5 року ((65 + 80) : 2).

Після встановлення середини кожного інтервалу за наведеною вище формулою середньої арифметичної зваженої обчислюємо середній вік 200 засуджених за злочини проти власності. Він становить 29,5 року (5902 : 200).

При цьому слід мати на увазі, що середня величина, обчислена за даними інтервального варіаційного ряду розподілу, завжди є наближе­ною, тому що при її обчисленні робиться припущення про однакові розміри ознаки в кожної одиниці сукупності. Проте точних даних одержати неможливо, оскільки у звітності вони наведені в такому ви­гляді. Відомо, що чим більша величина інтервалу і чим більше одиниць у ньому, тим більше відхилень від дійсної середньої величини можна одержати. Істотно вплинути на розмір середньої величини, обчисленої з інтервального ряду, може й довільне встановлення межі відкритих інтервалів, тому що з підрахунку можуть повністю зникнути найбільш віддаленні значення ознаки.